2021年山西高考理科数学试题【word精校版】

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2．已知集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

3．已知命题

，

；命题

，

，则下列命题中为真命题的是（）

A．

B．

C．

D．

4．设函数

，则下列函数中为奇函数的是（）

A．

B．

C．

D．

5．在正方体

中，

为

的中点，则直线

与

所成的角为（）

A．

B．

C．

D．

6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A．60种B．120种C．240种D．480种

7．把函数

图像上所有点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移

个单位长度，得到函数

的图像，则

（）

A．

B．

C．

D．

8．在区间

与

中各随机取1个数，则两数之和大于

的概率为（）

A．

B．

C．

D．

9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点

，

，

在水平线

上，

和

是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，

称为“表距”，

和

都称为“表目距”，

与

的差称为“表目距的差”，则海岛的高

（）

A．

B．

C．

D．

10．设

，若

为函数

的极大值点，则（）

A．

B．

C．

D．

11．设

是椭圆

的上顶点，若

上的任意一点

都满足

，则

的离心率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

12．设

，

，

．则（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线

的一条渐近线为

，则C的焦距为_________．

14．已知向量

，若

，则

__________．

15．记

的内角

的对边分别为

，面积为

，

，

，则

________．

16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

和

，样本方差分别记为

和

．

（1）求

﹔

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18．（12分）

如图，四棱锥

的底面是矩形，

底面

，

，M为

的中点，且

．

（1）求

，

（2）求二面角

的正弦值．

19．（12分）

记

为数列

的前n项和，

为数列

的前n项积，已知

．

（1）证明：数列

是等差数列;

（2）求

的通项公式．

20．（12分）

设函数

，已知

是函数

的极值点．

（1）求a；

（2）设函数

．证明:

．

21．（12分）

已知抛物线

的焦点为F，且F与圆

上点的距离的最小值为4．

（1）求p；

（2）若点P在M上，

是C的两条切线，

是切点，求

面积的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系

中，

的圆心为

，半径为1．

（1）写出

的一个参数方程；

（2）过点

作

的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数

．

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

，求a的取值范围．