椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

更新:2023-01-11 11:13壹壹高考网

关于“椭圆的面积公式推导,椭圆的面积公式推导微积分”,壹壹高考网 (http://www.yygled.com)小编为大家从网络整理了以下精彩内容,仅供参考阅读。壹壹高考网会持续对相关的内容进行更新。

一、面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).

定理内容

如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k,那么甲面积是乙面积的k倍。

那么椭圆

椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

的面积为πab

因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分,分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分的面积。 根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法,在图 形中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s,显然,s=y*dx 现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤:(第一象限全取正,后面不做说明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式:∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率

接下来跟着小编一起来看看“如何用微积分计算椭圆面积”的相关内容。

二、如何用微积分计算椭圆面积

首先先把椭圆方程各个字母的含义给大家,如下图

椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

第一种方法:换元积分法

椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

第二种方法:极坐标求积法

椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

第三种方法:格林公式下的求积公式

格林公式是阐述二重积分和边界曲线积分之间关系的重要公式,其是二元的牛莱公式

椭圆的面积公式推导-椭圆的面积公式推导微积分

以上就是用微积分求椭圆面积的具体过程。有趣的是椭圆的面积有很多种求法,但椭圆的周长却没有精确公式表达,只有许多的近似公式。

以上是壹壹高考网 (http://www.yygled.com)小编为大家带来的“椭圆的面积公式推导,椭圆的面积公式推导微积分”全部内容。全文均来源于网络。更多精彩内容,请关注壹壹高考网获取。

延伸阅读:
函数是指什么-函数的奇偶性是指什么
两条直线垂直斜率的关系-垂直的性质是什么
log函数运算公式换底公式-log函数运算公式转换
哪些省份用全国甲卷-高考试卷不统一的原因
新高考数学和旧高考数学有什么区别-数学应该怎么学
高三一轮数学知识点导图整理-高三一轮数学怎样学
高中数学太差怎样逆袭-快来看看学霸的数学学习方法
有效提高高中数学成绩的方法-有什么方法
高三数学成绩不好怎么提高-有哪些技巧
高中一轮复习数学知识点、高考常考参数方程