2015年山西省高三四校联考理科数学试题及答案

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2015届高三年级第二次四校联考

数学（理）试题

2014.12

命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1.已知集合 ， ，则集合

A. B. C. D.

2. 复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为

A． B． C． D．

3. 设双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为

A． B．2 C． D．

4. 如图所示的程序框图，若输入的 值为0，则输出的 值为

A． B．0 C．1 D． 或0

5. 已知条件 ： ，条件 ： ，且 是 的充分

不必要条件，则 的取值范围是

A. B．

C． D．

6. 已知实数 满足 ，则 的值为

A． B． C． D．

7. 设数列 的前 项和为 ，若 ，则

A． B． C． D．

8. 在三棱锥 中， ， ,二面角 的

余弦值是 ，则 三棱锥 外接球的表面积是

A. B. C. D.

9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A． B.

C. D.

10. 设 为抛物线 上不同的两点， 为坐标原点,且 ,则 面积的最小值为

A． B．

C． D．

11. 在平面直角坐标系 中，已知 是函数 的图象上的动点，该图像

在点 处的切线 交 轴于点 .过点 作 的垂线交 轴于点 ，设线段 的中 点的横坐标为 ，则 的值是

A． B． C． D．

12.已知函数 ，则方程 的根的个数不可能为

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 已知 ， ， ，则向量 与 的夹角是___________.

14. 若函数 在区间 上是单调减函数，且函数值从 减小到 ，则 ___________.

15. 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，若 ，则 的最小

值为___________.

16. 已知数列 ，则 ___________.

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

在 中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S．已知

（1）求 ; （2）若 ，求S的值.

18．（本小题满分12分）

如图1，直角梯形 中， ∥ , , 是底边 上的一点，且 . 现将 沿 折起到 的位置，得到如图2所示的四棱锥 且 .

（1）求证： 平面 ;

（2）若 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.

19．（本小题满分12分）

在等差数列 中， 为其前 项和，已知 ;正项数列 满足：

， .

（1）求数列 和 的通项公式；

（2）设 求数列 的前 项和 .

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 中， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点, 为短轴的一个端点， 是椭圆 上的一点，满足 ，且 的周长为 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）设点 是线段 上的一点，过点 且与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点，若 是以 为顶点的等腰三角形，求点 到直线 距离的取值范围.

21. ( 本小题满分12分)

设函数 （其中 28．．．）， ，已知它们在 处有相同的切线.

(1) 求函数 , 的解析式；

(2) 求函数 在 上的最小值；

(3) 若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图， 边AB上的高，

（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；

（2）若CQ=4，AQ=1，PF= ，求CB的长.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 是参数

（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式 ;

（2）设 ，对任意 都有 ，求 的取值范围.

2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA

二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16.

三、解答题：17、 (本小题满分12分)

解：（1）条件可化为 …2分

由余弦定理可得 ， …6分

故 …8分

（2）

当且仅当 时“＝”成立 …12分

18、 (本小题满分12分)

解：（1）设 ，则

∴ ………2分

又 ，

∴

∴ ………4分

又 ∩

∴ 平面 ………5分

（2）由（1）知： 平面 且 ,分别以 为 轴、 轴、 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分

则

是 的中点 ∴ ∴ ………8分

设平面 的法向量为

由 即 令 得 ………10分

设直线 与平面 所成角为 ，则

∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………12分

19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列 的公差为 。

则 解得

∴ ………3分

又 ∵ ∴

即数列 是公比为2的等比数列

∵ 得： ∴ ……6分

（2） ①

②

①- ②得：

………9分

∴

………12分

20、(本小题满分12分)解：（1）由已知 ，设 ，即

∴ 即 ∴ 得： ①………2分

又 的周长为 ∴ ② ………4分

又①②得： ∴ ∴所求椭圆 的方程为： …5分

（2）设点 ,直线 的方程为

由 消去 ，得：

设 ， 中点为

则 ∴

∴

即 ………8分

∵ 是以 为顶点的等腰三角形 ∴ 即

∴ ………10分

设点 到直线 距离为 ，

则 ∴

即点 到直线距离的取值范围是 。 ………12分

另解： ∴

法2：∵ 是以 为顶点的等腰三角形

∴

∵

∴ ………8分

又

∴

∴ ∴ ……10分

以下同解法一。

21、 (本小题满分12分)解：（1） ， ．由题意两函数在 处有相同的切线．

， ， ． ， ．

， ……3分

（2） ，由 得 ，由 得 ，

在 单调递增，在 单调递减．

当 时， 在 单调递减，在 单调递增，

当 时， 在 单调递增，

； ……7分

（3）令 ，

由题意，当 ， ．

， 恒成立， ， ．

，

，由 得 ， ．

由 得

在 单调递减，在 单调递增．……10分

当 ，即 时， 在 单调递增， ，不满足 ．

当 ，即 时，由知 满足 ．

当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增， ，满足 ．

综上所述，满足题意的 的取值范围为 ． ……12分

22、(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

(1) 证明:连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，

则四点A、B、P、Q共圆. ……5分

(2) 解:

……10分

23、(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解:（1） ……4分

（2）将 代入圆的方程得 ，

化简得 .

设 、 两点对应的参数分别为 、 ,则 , ……6分

,

, , 或 . ……10分

24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

解：（1） -2 当 时， , 即 ，∴ ；

当 时， ,即 ,∴

当 时， , 即 , ∴1 6

综上，{ | 6} ……5分

（2）

函数 的图像如图所示：

∵ ， 表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时， ；

∴当- 2，即 -2时成立； ……8分

当 ，即 时，令 ， 得 ,

∴ 2+ ,即 4时成立，综上 -2或 4。 ……10分

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