一元二次方程的判断方法 二元一次方程的解法

更新:2022-07-15 10:22壹壹高考网

一元二次方程的判断方法 二元一次方程的解法

一、二次函数的最大值和最小值

二次函数的最值:

1.如果自变量的取值范围是全体实数,则当a>0时,抛物线开口向上,有最低点,那么函数在处取得最小值y最小值=;

当a<0时,抛物线开口向下,有最高点,即当时,函数取得最大值,y最大值=。

也即是:如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

2.如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2 时,,当x=x1 时;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,,当x=x2时 。

一元二次方程的判断方法 二元一次方程的解法

二、一元二次方程的判断方法:

要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程。若是,再对它进行整理。如果能整理为(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。

点拨:

①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分,当a=0,b≠0时,她就成为一元一次方程了。反之,如果明确了

是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件;

②任何一个一元二次方程, 经过整理都能化成一般形式,在判断一个方程是不是一元二次方程时,首先化成一般形式,再判断;

③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以咋确定一元二次方程各项的系数时,应首先将方程化为一般形式;

④项的系数包括它前面的符号。如:x2+5x+3=0的一次项系数是5,而不是5x;3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1;

⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

三、二元一次方程的解法

1、直接开平方法:

直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±根号下n+m.

例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11

分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

(1)解:(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

(2)解:9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

将二次项系数化为1:x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式:(x+)2=

当b^2-4ac≥0时,x+=±

∴x=(这就是求根公式)  例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注:X^2是X的平方)

解:将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

将二次项系数化为1:x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+()2=+()2

配方:(x-)2=

直接开平方得:x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=.

3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3.用公式法解方程2x2-8x=-5

解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为x1=,x2=.

4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

(3)6x2+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学)

(1)解:(x+3)(x-6)=-8化简整理得

x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)

(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解。

注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解:x2-2(+)x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法)

(x-2)(x-2)=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结:  一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。

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