2022年初中数学:位置与坐标及轴对称

更新:2022-07-15 10:25壹壹高考网

轴对称的定义:

2022年初中数学:位置与坐标及轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的,对应点到对称轴的距离都是相等的。

轴对称的性质:

(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;

(2)对应线段相等,对应角相等;

(3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。

轴对称的判定:

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

这样就得到了以下性质:

1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用:

可以通过对称轴的一边从而画出另一边。

可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用:

关于平面直角坐标系的X,Y对称意义

如果在坐标系中,点A与点B关于直线X对称,那么点A的横坐标不变,纵坐标为相反数。

相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )

设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c

则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

在几何证题、解题时,如果是轴对称图形,则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。

譬如,等腰三角形经常添设顶角平分线;

矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;

正方形,菱形问题经常添设对角线等等。

另外,如果遇到的图形不是轴对称图形,则常选择某直线为对称轴,补添为轴对称图形,

或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧,以实现条件的相对集中。

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。

其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有","分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标

点的坐标:设点P是坐标平面内的任一点,由点P向轴作垂线,垂足对应着轴上的一个实数;由点P向轴作垂线,垂足对应着轴上一个实数,则点P的坐标就是(),其中叫点P的横坐标,叫做点P的纵坐标.

说明:点的坐标的定义实际上给出了求点的坐标的一种非常重要的方法,要注意横坐标与纵坐标的顺序不能颠倒.

3、不同位置的点的坐标的特征

﹝1﹞、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

﹝2﹞、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)

﹝3﹞、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

﹝4﹞、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

﹝5﹞、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点关于x轴的对称点是.

点关于y轴的对称点是.

点关于原点的对称点是.

﹝6﹞、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

点P(x,y)到x轴的距离等于

点P(x,y)到y轴的距离等于

点P(x,y)到原点的距离等于

☆.﹝7﹞(1)若PQ∥x轴,则.

.(2)若PQ∥y轴,则.

☆﹝8﹞.若,,当是线段AB的中点时

*﹝9﹞.若,,则

﹝10﹞.坐标平面内的点和有序实数对(x,y)之间建立了一一对应关系.

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