复合函数就是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。例如,函数y=cosx²,其复合过程为:y=cosu,u=x²。
复合函数,是按一定次序把有限个函数合成得到的函数,对两个函数f:A关于函数的复合运算→B,g:B→C,由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数,记为g·f。这样,g·f是A到C的函数,(g·f)(x)=g(f(x)),它的值域是g(f(A)),记号“·”表示两个函数的复合,它是二元运算.这个运算不满足交换律,即一般来说g·f≠f·g,但它满足结合律:对f:A→B,g:B→C,h:C→D,有h·(g·f)=(h·g)·f,于是可以定义h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。
一般地,对n+1个满足Bi⊆Ai+1(i=1,2,…,n)的函数fi:Ai→Bi(i=1,2,…,n+1)可以定义n重复合函数fn+1·fn·…·f1,任给两个函数f:A→B,g:C→D,当且仅当f(A)⊆C时可以得到复合函数g·f:A→D;当且仅当g(C)⊆A时可以得到f·g:C→B,当函数用变量表示为t=f(x),y=g(t),且f的值域含于g的定义域时,称t为复合函数y=g(f(x))的中间变量,函数的复合是研究函数的一种工具,一方面它提供了构造各式各样的新函数的方法;另一方面,为研究复杂的函数,常将它们看成一些简单函数的复合(求函数的导数时常这样做)。
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点:
⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;
⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);
⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;
⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
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