若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数,则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点:
⑴求f''(x);
⑵令f''(x)=0,解出此方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f''(x)不存在的点;
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x,检查f''(x)在这个点x左右两侧邻近的符号,那么当两侧的符号相反时,这个点(x,f(x))是拐点,当两侧的符号相同时,(x,f(x))不是拐点。
常见的充分性条件是二阶导数在这个点的左右两侧变号。
二阶导数等于0是必要条件,若三阶导数不为0(前提存在),则必是拐点。三阶导数也为0,结论不定。比如f(x)=x^4,0点的2 3 阶导数都是0,但0不是拐点。
从集合的角度来说,必要条件的集合包含要证明的集合,充分条件的集合,是证明集合的子集。 总之,必要条件的集合包含的范围大些,充分的小些。
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